De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
A continuació es mostra una llista de fórmules que tenen a veure amb la constant matemàtica π.
Geometria clàssica[modifica]
on L és la longitud d'una circumferència de diàmetre d.
on A és l'àrea d'un cercle de radi r.
on V és el volum d'una esfera de radi r.
on S és la superfície exterior d'una esfera de radi r.
- Període d'un pèndol simple d'amplitud petita:
- (forma integral de l'arctangent al llarg de tot el seu domini).
- (veure Integral de Gauß).
- (Vegeu també fórmula de la integral de Cauchy)
Sèries infinites eficients[modifica]
- (veure Srinivasa Ramanujan)
- [1]
Les següents identitats són útils per calcular dígits binaris arbitraris de π:
Altres sèries infinites[modifica]
- (vegeu també el problema de Basilea i la funció zeta de Riemann)
- , on B2n és un nombre de Bernoulli.
- [2]
- (sèrie de Leibniz)
- (Euler, 1748)
- Després dels dos primers termes, els signes venen determinats de la següent manera: si el denominador és un nombre primer de la forma 4m - 1, el signe és positiu; si el denominador és un nombre primer de la forma 4m + 1, es signe és negatiu; per nombres compostos,el signe és igual al producte dels signes dels factors.[3]
Fórmules de Machin[modifica]
- (la fórmula original de Machin)
- (d'Euler)
- (de Hermann)
- (de Hutton o de Vega[4])
on és l'enèssim nombre de Fibonacci.
Algunes sèries infinites[modifica]
Algunes sèries infinites relacionades amb pi són:[5]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
on
és el símbol de Pochhammer del factorial decreixent.
Productes infinits[modifica]
- (Euler)
- on els numeradors són els nombres primers senars; i cada denominador és el múltiple de 4 més proper al numerador.
Fórmula de Vieète:
Fraccions contínues[modifica]
(vegeu també fracció contínua)
- (aproximació de Stirling)
- (Identitat d'Euler)
- (veure Funció φ d'Euler)
- (veure Funció φ d'Euler)
- (veure trambé funció Gamma)
- (on agm és la Mitjana aritmètico-geomètrica)
- (on mod és la funció mòdul, que dona el residu de la divisió de n entre k)
- (sumatori de Riemann per avaluar l'àrea d'un cercle unitat)
- (a través de l'aproximació de Stirling)